双积分和迭代积分之间有特定区别吗?


回答 1:

表面积分与迭代积分:

Surface积分是沿位于高维空间中的曲面对函数进行积分或求值的积分。(二维)表面积分是针对嵌入高维空间中的形状采取的。

但是在迭代积分中,它只能积分一个函数,该函数相对于无穷小区域受2D区域限制

也就是说,我们可以在三个维度上获取球体的表面积分。 我们可以将球体的表面映射到一个平面,然后进行积分。

另一个例子是3D立方体。 显然,立方体的表面本质上是2D的,但是立方体本身是嵌入3D空间中的。 我们可以在这个表面上取积分。

您可以这样考虑表面积分:如果我们可以某种方式展开,拉伸,旋转,切割和弯曲某个形状的表面以使其平坦,那么我们可以在形状的边界上获取表面积分。 但是形状本身不一定是平面的,当然也不一定是二维的。

迭代积分只能在二维空间上获取。 也就是说,我们只能在2D空间区域内使用它。 像正方形,圆形或其他任何内部形状。

因此,如果我们可以将表面映射(拉伸,旋转等)到二维空间,则表面积分可以导致迭代积分,反之,如果我们可以将二维空间映射到更高维的表面,则我们可以将表面积分! 对于足够好的表面和形状,这是很好的对称性(尽管如果考虑特殊情况,则表面积分更为通用)。

当表面投影到任意平面区域时,表面积分变为迭代积分。


回答 2:

在病理情况下,整合的顺序很重要。 例如

0101x2y2(x2+y2)2dydx=π4\int_0^1{\int_0^1{\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}dy}dx} = \frac{\pi}{4}

,但如果顺序相反,则积分会更改符号。 (鉴于积分存在并且非零,那么很明显符号将发生变化-互换

xx

yy

.)

但是,如果存在双积分,则不会发生这种情况。 因此,双积分必须微妙地不同。 定义双积分的方式与单积分的方式类似-将域细分,然后让片段趋于零。 重复积分是相似的,但是将域划分为矩形网格,并且宽度和高度分别趋于零,并且顺序很重要。

如果您知道Lebesgue积分,请查阅Fubini-Tonelli定理。