有限集和无限集之间的基本区别是什么?


回答 1:

我在这里写3个类别之间的基本区别。

1:有限集

2:可数无限集

3:无数无限集

仅通过检查它们的可计数性,我们就可以区分上述3个类别。 但是重点是如何检查可数性…

在有限集中,元素当然是可数的,例如:A = {3,5,6,9},B = {a,e,i,o,u} C = {x:x <50,x属于N}等。在所有这些示例中,基数非常清楚。

但是在INFINITE SETS中:可以潜在地计数元素,也可以不计数。 例如,我们从基数最小的无限集开始...

一组自然数N->无限,可数

整数集W->无限,可数

整数集Z->无限,可数

有理数集Q->无限,可数

设置无理数I->无限,不可数

实数集R->无限,不可数

如果存在双射映射,则无限集是可数的,即,设置元素与自然数之间存在一对一的对应关系。 这意味着,我们能够将集合中的元素排列成简单的一行,或者排列成行和列。 我们非常确定接下来是哪个号码。 而且我们可以按自然数排列元素。.像第一个元素,第二个元素,第三个元素………等等……只有这样,这些行和列才能继续无穷大……。

例如……自然数1,2,3,4,5,6,7,………..无穷大

整数O,1,2,3,4,5,…………无穷大

整数负无穷大..... -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5…无穷大

理性1/1,1 / 2,1 / 3,1 / 4,...

2/1, 2/2,2/3,2/4,2/5 …….

3/1,3/2,3/3,3/4,………

4/1,4/2,4/3,4/4,4/5 ……..

如果继续这种方式,我们会注意到,所有可能的分数都将适合以上列表中的一个或其他行和列。

因此,以上所有都是可数的无限集。

现在,我们知道实数的集合是两个集合的有理数,即有理数和无理数

实数集是不可数的,因为在每两个实数之间还有另一个有理数和无理数,因此元素与自然数之间的双射映射是不可能的。

因此,实数集是不可数的,而有理数集是可数的。 因此,非理性的集合必须是不可数的。 如果不是这样,则实数集将变得可数,事实并非如此……


回答 2:

如果我们有一个有限集,并且我们对其元素进行计数(即,将它们与自然数一对一地匹配),那么计数就结束了,而我们以其结尾的相应自然数就是集合中的元素。

如果我们有一个无限集,并且我们对其元素进行计数,那么计数就不会结束。 没有对应于集合中元素数量的自然数。

那是基本的区别。 换句话说,有限集的元素不能与的所有元素一一对应

N\mathbb N

。 或者,从技术上讲,没有注入

N\mathbb N

进入一个有限集合,但是注入到一个无限集合中。

同样,任何无限集都具有可以删除其某些元素的属性,但是所得子集仍可以与原始集一一对应(例如,自然数可以一对一地配对) -一,其偶数子集)。 使用有限集是不可能的。 实际上,这是一个与众不同的属性:它可用于定义有限集和无限集之间的本质区别。


回答 3:

可以将无限集注入适当的子集。 有限集不能。

让我们打开包装。

从一个集合到另一个集合的“注入”意味着对于“来自”集合中的每个元素,您都选择“进入”集合中的唯一元素。

例如,给定一个多维数据集的边集和数字1-10,从侧面到数字的注入将在多维数据集的每一边都放一个不同的数字。 如果将1放在两个不同的侧面,则不会进行注射。 请注意,注入并不需要使用“ into”集中的所有元素。 从立方体的侧面注入1–10,有四个未使用的数字。

集合的“适当子集”在集合中具有其所有元素,但集合中并非所有元素都在子集中。 例如,1位素数的集合是0-9的适当子集,因为2,3,5和7都在0-9中,而8位不在1素数的集合中。

让我们看一下“自然数”和“偶数自然数”。 显然所有偶数都是自然数,因此偶数是自然数的子集。 同样很明显,3是一个自然数,不是偶数。 因此,偶数是自然的适当子集。

但是,每个自然数都可以与唯一的偶数自然数相关联。 你有

12,24,36,,147294,1\to2, 2\to4, 3\to6, \ldots, 147\to294, \ldots

。 此映射是注入。

这意味着自然数是一个无限集。

作为另一个示例,请考虑一组字母的有限长度字符串。 这套看起来像

Σ={"","a","ab","aab","bob",}\Sigma^* = \{"", "a", "ab", "aab", "bob", \ldots\}

,尽管我没有按特定顺序排列它们。 该集合的元素之一是由字母“ a”组成的字符串,重复了googleplex次。 现在考虑设置

bΣ={"b"+σσΣ}b\Sigma^* = \{ "b"+\sigma | \sigma \in \Sigma^*\}

,或通过将每个字符串取入而形成的一组字符串

Σ\Sigma^*

并在其前面加上字母“ b”。 所以

bΣ={"b","ba","bab","baab","bbob",}b\Sigma^* = \{"b", "ba", "bab", "baab", "bbob", \ldots\}

,包括由字母“ b”和Googleplex字母“ a”组成的字符串。 由于每个元素

\bΣ\b\Sigma^*

isafinitelengthstringofletters,itisasubsetofΣ.Sincethereareelementsof[math]Σ[/math]notin[math]bΣ[/math],itisapropersubset.Andsinceeveryelementof[math]Σ[/math]correspondstoauniqueelementin[math]bΣ[/math],thereisaninjection[math]ΣbΣ[/math].So[math]Σ[/math]isaninfiniteset. is a finite-length string of letters, it is a subset of \Sigma^*. Since there are elements of [math]\Sigma^*[/math] not in [math]b\Sigma^*[/math], it is a proper subset. And since every element of [math]\Sigma^*[/math] corresponds to a unique element in [math]b\Sigma^*[/math], there is an injection [math]\Sigma^* \to b\Sigma^*[/math]. So [math]\Sigma^*[/math] is an infinite set.

另外两个答案是关于“可数”和“不可数”集的,这实际上并不是问题的核心。 粗略地说,当一个集合可以注入自然数集合时,它是“可数的”。 所有有限集都是可数的,根据该定义,自然数集显然是可数的,

Σ\Sigma^*

是可数的。

数学家乔治·康托尔(Georg Cantor)证明不可能将集合的幂集(所有子集的集合)注入到集合中-您不能注入

{,{1},{2},{1,2}}\{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1,2\}\}

进入

{1,2}\{1,2\}

例如。 这意味着您不能注入

P(N)N\mathcal{P}(\mathbb{N}) \to \mathbb{N}

,因此

P)N)\mathcal{P})\mathbb{N})

不可数或不可数。 因此,一些无限集是可数的,而一些无限集是不可数的。

可以将无限集注入到其本身的适当子集中的概念实际上是对定义为无限的含义的定义。