数值解和解析解有什么区别?


回答 1:

分析解决方案表示可用于研究具有不同属性的系统行为的精确解决方案。 不幸的是,很少有实用的系统可以生成分析解决方案,并且分析解决方案的使用受到限制。 这就是为什么我们使用数值方法来接近实际结果的原因。

“由于自然界中几乎没有可完全解决的问题,这就是为什么比所有完全可解决的问题难得多的问题。不幸的是,即使是数值方法也无法给出,其中大约三到四个已经全部解决了。任何确切的解决方案。” -卡尔·本德

数值解是不能以完整的数学表达式形式表示的解。 例如,以下集成的结果没有封闭式解决方案:

Samim Ul Islam对我将如何整合的答案

1+cos2x\sqrt{1 + \cos^2 x}

?

上述积分是一个椭圆积分。 分析上很难解决,但在数值上我们可以使用算术运算来解决,例如加法(+),减法(-),乘法(×),除法(÷)和比较

数值分析具有大量通过纯算术运算找到答案的方法,因此,数值分析可以解决无法使用解析方法(使用数学方法)或非常困难的数学过程的问题。 数值方法能够处理大型方程组,具有不同程度的非线性,这在工程实践中很常见。 数值方法可以处理通常无法解析解决的任何复杂物理几何形状。


回答 2:

对我来说,用示例比用定义更容易理解。

考虑以下功能:

f(x)=x2f(x)=x^{2}

想像一下您想知道的结果

f(x)dx.\int f(x)dx.

因此,根据您的微积分课程来回答这个问题,您可以使用微积分的基本定理来找到原始数,答案是:

f(x)dx=x33\int f(x)dx=\dfrac{x^{3}}{3}

现在,假设该函数比这个函数复杂十倍,并且经过数小时的尝试来解决它,您发现在微积分课程中学习的每种技术都是无用的(此类函数的一个示例是

g(x)=ex2g(x)=e^{x^{2}}

)

您知道有一个答案,因为每个重要功能都有一个整数,那么您该怎么办?

好吧,这里有数值解可以使用。

在学习如何求解积分之前,每位参加过适当的微积分课程的人都将学习什么是积分。 作为介绍,您将看到以下定义:

abf(x)dx=limn(ba)nk=1nf(a+k(ba)n) {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=\lim _{n\to \infty }{\frac {(b-a)}{n}}\sum _{k=1}^{n}f(a+k{\frac {(b-a)}{n}})}

计算该限制有时几乎是不可能的,但是如果您只想要某种程度的精度(例如10位数字),那么您可以对该公式进行任意多次迭代,直到您完全满意为止(即使它不是精确的解决方案) )。

我的答案中的第一个过程是解析解的一个示例,第二个过程是数值解的一个示例。


回答 3:

对我来说,用示例比用定义更容易理解。

考虑以下功能:

f(x)=x2f(x)=x^{2}

想像一下您想知道的结果

f(x)dx.\int f(x)dx.

因此,根据您的微积分课程来回答这个问题,您可以使用微积分的基本定理来找到原始数,答案是:

f(x)dx=x33\int f(x)dx=\dfrac{x^{3}}{3}

现在,假设该函数比这个函数复杂十倍,并且经过数小时的尝试来解决它,您发现在微积分课程中学习的每种技术都是无用的(此类函数的一个示例是

g(x)=ex2g(x)=e^{x^{2}}

)

您知道有一个答案,因为每个重要功能都有一个整数,那么您该怎么办?

好吧,这里有数值解可以使用。

在学习如何求解积分之前,每位参加过适当的微积分课程的人都将学习什么是积分。 作为介绍,您将看到以下定义:

abf(x)dx=limn(ba)nk=1nf(a+k(ba)n) {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=\lim _{n\to \infty }{\frac {(b-a)}{n}}\sum _{k=1}^{n}f(a+k{\frac {(b-a)}{n}})}

计算该限制有时几乎是不可能的,但是如果您只想要某种程度的精度(例如10位数字),那么您可以对该公式进行任意多次迭代,直到您完全满意为止(即使它不是精确的解决方案) )。

我的答案中的第一个过程是解析解的一个示例,第二个过程是数值解的一个示例。